Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）由Sn=2an-n，分别令n=1，n=2，n=3，能够求出a1，a2，a3的值．
（Ⅱ）由Sn=2an-n，得an=2an-1+1，所以an+1=2（an-1+1），（n≥2，n∈N*），由此能求出数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn=2an-n，
令n=1，解得a1=1．…（1分）
再分别令n=2，n=3，
解得a2=3，a3=7．…（4分）
（Ⅱ）∵Sn=2an-n，
∴Sn-1=2an-1-（n-1），（n≥2，n∈N*），
两式相减得an=2an-1+1，…（6分）
∴an+1=2（an-1+1），（n≥2，n∈N*），…（8分）
∵a1+1=2，
∴an+1是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
∴，…（10分）
∵Sn=2an-n（n∈N*），
∴Sn=2an-n=2n+1-n-2，（n∈N*）．…（12分）