Question

如图，两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面所成角分别为30、45，M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1．
（I） 求证：MN⊥平面ABCD
（II） 求线段AB的长；
（III）求二面角A-DE-B的平面角的正弦值．

Answer

（Ⅰ） 先证明 EB⊥平面ABCD，由三角形的中位线的性质可得MN∥EB，故MN⊥面ABCD．
（Ⅱ）利用直角三角形中的边角关系求得DE，进而求得AE，在Rt△ABE中，由勾股定理求得AB的长．
（Ⅲ）过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH，由三垂线定理可证∠BHO为所求二面角的平面角，用面积法求出BO和 BH，由 sin∠BHO= 求得二面角A-DE-B的平面角的正弦值．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，
EB⊥AB，∴EB⊥平面ABCD，又MN∥EB，∴MN⊥面ABCD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角，∴∠EDB=30°．
又在Rt△EBD中，EB=2MN=2，∠EBD=90°∴DE==4，
连接AE，可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角，∴∠DEA=45°．
在Rt△DAE中，∠DAE=90°，∴AE=DE•cos∠DEA=2．
在Rt△ABE中，AB===2．
（Ⅲ）：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH，∵AD⊥平面ABEF，BO⊂面ABEF，
∴BO⊥平面ADE，∴OH为BH在平面ADE内的射影，∴BH⊥DE，即∠BHO为所求二面角的平面角．
在Rt△ABE中，BO=． 在Rt△DBE中，由BH•DE=DB•OE得  BH=，
∴sin∠BHO===．