Question

若定义在R上的函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）-1为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

Answer

（1）要判断函数的奇偶性方法是f（x）+f（-x）=0．现在要判断f（x）-1的奇偶性即就是判断[f（x）-1]+[f（-x）-1]是否等于0．首先令x1=x2=0得到f（0）=1；然后令x1=x，x2=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）-1证出即可；
（2）要判断函数的增减性，就是在自变量范围中任意取两个x1＜x2∈R，判断出f（x1）与f（x2）的大小即可知道增减性．
（3）已知f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1，且f（4）=5，则f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．由不等式
f（3m2-m-2）＜3，得f（3m2-m-2）＜f（2），由（2）知，f（x）是R上的增函数，得到3m2-m-2＜2，求出解集即可．
【解析】
（1）定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，
令x1=x2=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-1⇒f（0）=1，
令x1=x，x2=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，
∴[f（x）-1]+[f（-x）-1]=0，
∴f（x）-1为奇函数．
（2）由（1）知，f（x）-1为奇函数，
∴f（-x）-1=-[f（x）-1]，
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，
∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1，
∴f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）-1=f（x2）-[f（x1）-1]=
f（x2）-f（x1）+1．
∵当x＞0时，f（x）＞1，
∴f（x2-x1）=f（x2）-f（x1）+1＞1，∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）是R上的增函数．
（3）∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1，且f（4）=5，
∴f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．
由不等式f（3m2-m-2）＜3，得f（3m2-m-2）＜f（2），
由（2）知，f（x）是R上的增函数，
∴3m2-m-2＜2，∴3m2-m-4＜0，∴-1＜m＜，
∴不等式f（3m2-m-2）＜3的解集为（-1，）．