Question

已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是    ．

Answer

利用双曲线的对称性及锐角三角形∠AEF＜45°得到AF＜EF，求出A的坐标；求出AF，EF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．
【解析】
∵△ABE是锐角三角形
∴∠AEB为锐角
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴
∴∠AEF=∠BEF＜45°
∴AF＜EF
∵F为左焦点，设其坐标为（-c，0）
所以A（）
所以AF=，EF=a+c
∴即c2-ac-2a2＜0
解得
双曲线的离心率的范围是（1，2）
故答案为（1，2）