Question

已知函数f（x）=（ax²+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是    ．

Answer

求导函数，利用函数f（x）=（ax2+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，可得f′（x）=2ax-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数，求出函数的最大值，即可求得实数a的取值范围．
【解析】
求导函数可得：f′（x）=2ax-lnx
∵函数f（x）=（ax2+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=2ax-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立
∴2a≥
令g（x）=（x＞0），则
令g′（x）＞0，可得0＜x＜e；令g′（x）＜0，可得x＞e；
∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减
∴x=e时，函数取得最大值
∴2a≥
∴
故答案为：．