Question

已知函数f（x）=x²++alnx（x＞0），
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞]上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x₁，x₂总有以下不等式[f（x₁）+f（x₂）≥f（）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

Answer

（Ⅰ）求导函数，确定斜率，求出切点坐标，可得切线l的方程，利用切线l在两坐标轴上的截距相等，即可求得结论；
（Ⅱ）求导函数，利用函数为[1，+∞）上单调增函数，则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即在[1，+∞）上恒成立，求出右边对应函数的最大值，即可求得结论；            
（Ⅲ）由f（x）=x2++alnx，得[f（x1）+f（x2）=++aln，f（）=++aln，利用基本不等式即可得到结论．
（Ⅰ）【解析】
∵
∴f′（1）=2-2+a=a
∵f（1）=3
∴切线l的方程为y-3=a（x-1），即y=ax-a+3．
∵切线l在两坐标轴上的截距相等，
故①当直线l过原点时，-a+3=0，∴a=3；
②当直线l不过原点时，a=-1
所以a=3或-1．                                                        
（Ⅱ）【解析】
由f（x）=x2++alnx，得
若函数为[1，+∞）上单调增函数，则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即不等式在[1，+∞）上恒成立．也即在[1，+∞）上恒成立  
令，上述问题等价于a≥g（x）max
而为在[1，+∞）上的减函数，则g（x）max=g（1）=0，
于是a≥0为所求                                                           
（Ⅲ）证明：由f（x）=x2++alnx，得[f（x1）+f（x2）=++aln
f（）=++aln
而 ①
又=，∴  ②
∵，∴ln≤ln，
∵a≤0，∴aln≥aln，③
由①、②、③得++aln≥++aln
即[f（x1）+f（x2）≥f（），从而由凹函数的定义可知函数为凹函数