Question

（1）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C₁、C₂的极坐标方程分别为，，则曲线C₁上的点与曲线C₂上的点的最远距离为______

Answer

（1）先将曲线的极坐标方程方程化为普通方程，曲线C1的普通方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1．表示以C（0，1）为圆心，半径为1 的圆．曲线C2的普通方程为x+y+1=0，表示一条直线．利用直线和圆的位置关系求解．
（2）由基本不等式可得a≥，c≥2 ，再由三角形任意两边之和大于第三边可得，+2 ＞b=p，且p+＞2，p+2＞，由此求得实数p的取值范围．
曲线C1极坐标方程为ρ=-2cos（θ+），即ρ=2sinθ，ρ2=2ρsinθ
化为直角坐标方程为x2+y2-2y=0．即x2+（y-1）2=1．
表示以C（0，1）为圆心，半径为1 的圆．
C2的极坐标方程为，ρcos（θ-）+1=0，即 ρ（ cosθ+sinθ）+1=0，
化为普通方程为x+y+1=0，表示一条直线
如图，圆心到直线距离d=|CQ|=，曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为|PQ|=d+r=+1
（2）对于正实数x，y，由于a=≥=，c=x+y≥2 ，b=p ，且三角形任意两边之和大于第三边，所以 +2 ＞b=p ，且p +＞2 ，p +2 ＞．
解得 1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），
故答案为：+1，（1，3）．