Question

如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，，．将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图2）
（1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

Answer

（1）先根据条件得到BD⊥平面AEM；进而通过求边长得到AE⊥ME；即可得到结论；
（2）先建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可．
【解析】
（1）如图取BD中点M，连接AM，ME．
∵．
∴AM⊥BD
∵DB=2，DC=1，⇒DB2+DC2=BC2，
所以△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，
∵E是BC的中点，∴ME为△BCD的中位线，
∴ME⊥BD，，
∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角∴∠AME=60°…（3分）
∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线，
∴BD⊥平面AEM∵AE⊂平面AEM，
∴BD⊥AE
∵，DB=2，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴，，
∴AE2+ME2=1=AM2，
∴AE⊥ME=M，
∴BD∩ME，BD⊂平面BDC，ME⊂面BDC，
∴AE⊥平面BDC…（6分）
（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系M-xyz，
则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），，，D（-1，0，0），C（-1，1，0），，…（8分）
设平面ACD的法向量为
则⇒
…（10分）