Question

设不在y轴负半轴的动点P到F（0，1）的距离比到x轴的距离大1．
（1）求P的轨迹M的方程；
（2）过F作一条直线l交轨迹M于A、B两点，过A，B做切线交于N点，再过A、B作y=-1的垂线，垂足为C，D，若S_△ACN+S_△ANB=2S_△BDN，求此时点N的坐标．

Answer

（1）设动点P的坐标为（x，y），由|PF|=|y|+1，知，由此能求出P的轨迹M的方程．
（2）设直线l的方程为为y=kx+1，由，知x2-4kx-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1•x2=-4，由x2=4y，知过A的切线方程y-=（x-x1），同理过B的切线方程为：y-=（x-x2），由此能求出S△ACN+S△ANB=2S△BDN时点N的坐标．
【解析】
（1）设动点P的坐标为（x，y），
∵|PF|=|y|+1，
∴，
整理，得x2=4y，
∴P的轨迹M的方程是x2=4y．
（2）由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为为y=kx+1，
∵，
∴x2-4kx-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=4k，x1•x2=-4，
∵x2=4y，∴y′=，
∴，=，
∴过A的切线方程y-=（x-x1），
同理过B的切线方程为：y-=（x-x2）…（6分）
设N点坐标为（a，b），
则x1，x2是方程x2-2ax+4b=0的两根，
∴x1+x2=2a=4k，x1•x2=-4，
∴b=-1．…（8分）
由（1）知x1+x2=4k，所以N为线段CD的中点，
取线段AB的中点E，
∵F是抛物线的焦点，
∴AF=AC，BF=BD，∴AC+BD=AB，
∴S△ANB=S△ANE+S△BNE
=
=，
∵，
，
∴S△ACN+S△ANB=2S△BDN，
∴2BF=AF+AB…（11分）
即2（x2-0）=（0-x1）+（x2-x1），
所以x2-2x1=2x2，x2=-2x1，
∴，
当时，x2=-2，a=-，
当时，x2=2，a=，
∴所求点N的坐标为．…（13分）