Question

设函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）．
（1）证明：函数f（x）在（0，1）是增函数；
（2）求证：0≤a_n+1＜a_n＜1；
（3）若，求证：（n≥2，n∈N^*）．

Answer

（1）由于x∈（0，1）时，f'（x）=1-cosx＞0恒成立，可得函数f（x）在（0，1）是增函数．
（2）用数学归纳法证明0≤an+1＜an＜1成立．
（3）先用导数判断函数的单调性，并利用单调性证明 ，再证明a1= 时，an≤，由此即可证得
结论．
证明：（1）∵x∈（0，1）时，∴f'（x）=1-cosx＞0恒成立，
∴函数f（x）在（0，1）是增函数．…（3分）
（2）∵a2=f（a1）=a1-sina1，∴a2-a1=-sina1 ．
∵0＜a1＜1，∴∴six＜x 恒成立．…（5分）
1当n=1时，0＜a1＜a2＜12 命题成立．
3假设当n=k时命题成立，即0≤ak+1＜ak＜14，
∵0=f（0）＜f（x）＜f（1）=1-sin1＜1恒成立，…（8分）
∴f（0）＜f（ak+1）＜f（ak）＜f（1），即 0≤ak+2＜ak+1＜1-sin1＜1，
故当 n=k+1时，命题成立．
根据①②可知对于任意n∈N*命题0≤an+1＜an＜1均成立；
（3）证明：先证明 ，即证 an+1-=an-sinan-＜0，an∈（0，1）．
令∅（x）=x sinx-，x∈（0，1），则∅′（x）=-x+1-cosx．
再令g（x）=∅′（x），则g′（x）=-1+sinx≤0，故g（x）=∅′（x）在（0，1）上是减函数，
故∅′（x）＜∅′（0）=0，故∅（x）在（0，1）上是减函数，故∅（x）＜∅（0）=0 恒成立．
再由an∈（0，1），∅（an）＜0，即 an-sinan-＜0，故有 ．
再证明a1= 时，an≤．
由  可得 ＜． 再由an＜an-1＜an-2＜…＜a2＜a1，
当n≥2时，an=a1••…＜a1••…＜a1••… 
==＜=，
即 an＜． …（14分）