Question

已知命题P：函数f（x）=log_2m（x+1）是增函数；命题Q：∀x∈R，x²+mx+1≥0．
（1）写出命题Q的否命题¬Q；并求出实数m的取值范围，使得命题¬Q为真命题；
（2）如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer

（1）否命题¬Q，就是把命题Q的条件和结论都否定，联系对应二次函数图象，由△=m2-4＞0，解得m的取值范围．
（2）命题P和命题Q中，一个为真命题，一个为假命题，分命题P是真命题命题Q是假命题，命题P是假命题命题Q是真命题两种情况，计算可得答案．
【解析】
（1）¬Q：∃x∈R，x2+mx+1＜0．（2分）
若¬Q为真命题，则△=m2-4＞0，解得：m＜-2，或m＞2．
故所求实数m的取值范围为：（-∞，-2）∪（2，+∞）．（5分）
（2）若函数f（x）=log2m（x+1）是增函数，则 2m＞1，．（7分）
又∀x∈R，x2+mx+1≥0为真命题时，由△=m2-4≤0m的取值范围为B={m|-2≤m≤2}．（9分）
由“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，故命题P、Q中有且仅有一个真命题．
当P真Q假时，实数m的取值范围为：
．（11分）
当P假Q真时，实数m的取值范围为：
；（13分）
综上可知实数m的取值范围：[-2，]∪（2，+∞）．（14分）