Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）设数列{b_n}满足，证明：①（； ②b_n＜1．

Answer

（1）由数列{an}中，a1=1，nan+1=2（a1+a2+…+an），分别令n=1，2，3，能求出a2，a3，a4．
（2）由nan+1=2（a1+a2+…+an），得（n-1）an=2（a1+a2++an-1），二者相减得到nan+1=（n+1）an，由此能求出an．
（3）①由（2）得：＞bn＞bn-1＞…＞b1＞0，所以数列{bn}是正项单调递增数列，由此能够证明．
②当n=1时，显然成立．当n≥2时，＞，所以，由此能够证明bn＜1成立．
（1）【解析】
∵a1=1，nan+1=2（a1+a2+…+an），
∴a2=2a1=2，
2a3=2（a1+a2）=6，a3=3，
3a4=2（a1+a2+a3）=12，a4=4；（3分）
（2）【解析】
nan+1=2（a1+a2++an）①
（n-1）an=2（a1+a2+…+an-1）②
①-②得nan+1-（n-1）an=2an，
即：nan+1=（n+1）an，（6分）
所以
所以an=n（n∈N*）；（8分）
（3）证明：①由（2）得：
＞bn＞bn-1＞…＞b1＞0，
所以数列{bn}是正项单调递增数列，（10分）
当n≥1，，
所以，（12分）
②1°当n=1时，显然成立．
2°当n≥2时，
＞-

=
=，所以，
综上可知，bn＜1成立．（14分）