Question

如图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CC₁=2，AB=BC，D是BA₁上一点，且AD⊥平面A₁BC．
（1）求证：BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）在棱BB₁是否存在一点E，使平面AEC与平面ABB₁A₁的夹角等于60°，若存在，试确定E点的位置，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明BC⊥平面ABB1A1，利用线面垂直的判定，证明AD⊥BC，AA1⊥BC即可；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，设存在满足条件的点E坐标为（0，0，a）（0＜a＜2），求出平面ABB1A1的法向量=，平面ACE的法向量，利用平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60°，结合向量的夹角公式，即可求得结论．
（1）证明：∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC
∴AD⊥BC．
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，
∵BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．
∵AD∩AA1=A，AD⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，
∴BC⊥平面ABB1A1．
（2）【解析】
∵BC⊥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1
∴BC⊥AB．
又BB1⊥AB，BB1⊥BC，于是可建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．
∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC=2，
∴．
从而，
设存在满足条件的点E坐标为（0，0，a）（0＜a＜2）
由（1）知平面ABB1A1的法向量=，
令平面ACE的法向量，由，可得
令得．
∵平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60°
∴，解得a=1
所以当E为棱BB1中点时平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60°．