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已知函数f(x)=3ax-2x2+lnx,a为常数. (1)当a=1时,求f(x...

已知函数f(x)=3ax-2x2+lnx,a为常数.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.
(1)先求函数的导函数f′(x),并将其因式分解,便于解不等式,再由f′(x)>0,得函数的单调增区间,由f′(x)<0,得函数的单调减区间 (2)先求函数的导函数f′(x),将函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数问题转化为则f′(x)≥0,或f′(x)≤0在区间[1,2]上恒成立问题,进而将不等式参变分离,转化为求函数最值问题即可 【解析】 (1)当a=1时,f(x)=3x-2x2+lnx,则f(x)的定义域是(0,+∞) ∵. ∴由f′(x)>0,得0<x<1;由f′(x)<0,得x>1; ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. (2)∵. 若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数, 则f′(x)≥0,或f′(x)≤0在区间[1,2]上恒成立. ∴,或在区间[1,2]上恒成立. 即,或在区间[1,2]上恒成立. 设h(x)=, ∵h′(x)=4+>0 ∴h(x)=在区间[1,2]上是增函数. h(x)max=h(2)=,h(x)min=h(1)=3 ∴只需3a≥,或3a≤3. ∴a≥,或a≤1.
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考点分析:
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