已知数列{an}满足an＞0且对一切n∈N*，有a13+a23+…+an3=Sn...

已知数列{a_n}满足a_n＞0且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）求证：对一切n∈N^*有 manfen5.com 满分网

-a_n+1=2S_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}通项公式；
（Ⅲ）求证： manfen5.com 满分网

+…+

＜3．

（Ⅰ）由a13+a23+…+an3=Sn2，再写一式，两式相减，化简可得结论；（Ⅱ）由an+12-an+1=2Sn=2Sn+1-2an+1，可得an+12+an+1=2Sn+1，再写一式，两式相减，可得数列{an}是以首项为a1=1，公差为1的等差数列，从而可得数列的通项公式；（Ⅲ）利用放缩法可得＜＜=，再利用叠加法，即可证得结论．（Ⅰ）证明：∵数列{an}满足：an＞0，且对一切n∈N*，有a13+a23+…+an3=Sn2，…① 所以a13+a23+…+an3+an+13=Sn+12，…② ①-②得an+13=Sn+12-Sn2=an+1（Sn+1+Sn），则an+12=Sn+1+Sn=an+1+2Sn，所以an+12-an+1=2Sn；（Ⅱ）【解析】因为an+12-an+1=2Sn=2Sn+1-2an+1，所以an+12+an+1=2Sn+1…③ 则an2+an=2Sn…④ ③-④得2an+1=（an+12-an2）+（an+1-an），从而an+1-an=1．又a1=1，所以数列{an}是以首项为a1=1，公差为1的等差数列所以an=n；（Ⅲ）证明：∵an=n，∴＜＜ = ∴+++…+＜1+（）+…+（）=2+-＜3．

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考点分析：

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