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如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=D...

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:EF⊥CD;
(3)设PD=AD=a,求三棱锥B-EFC的体积.

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(Ⅰ)由题意容易证明EF∥AP.由线面平行的判定定理可证 (Ⅱ)由(I)知EF∥AP,要证EF⊥CD,只要证明CD⊥PA.,结合已知,可证CD⊥平面PAD,即可 (Ⅲ)利用等体积,把所求的体积VB-EFC=VF-EBC,可求 (Ⅰ)证明:∵E,F分别是AB,PB的中点, ∴EF∥AP. 又∵EF⊄平面PAD,AP⊂平面PAD, ∴EF∥平面PAD.                  (4分) (Ⅱ)证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴AD⊥CD. 又∵PD⊥平面ABCD, ∴PD⊥CD,且AD∩PD=D. ∴CD⊥平面PAD, 又∵PA⊂平面PAD, ∴CD⊥PA. 又∵EF∥PA, ∴EF⊥CD.    (8分) (Ⅲ)【解析】 连接AC,DB相交于O,连接OF,则OF⊥面ABCD, 则OF为三棱锥F-EBC的高,OF==,S△EBC=EB•BC= ∴.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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