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已知椭圆C:manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的离心率为manfen5.com 满分网,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+manfen5.com 满分网=0相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,设P为椭圆上一点,且满足manfen5.com 满分网(O为坐标原点),当|manfen5.com 满分网-manfen5.com 满分网|<manfen5.com 满分网时,求实数t取值范围.
(Ⅰ)由题意知,所以.由此能求出椭圆C的方程. (Ⅱ)由题意知直线AB的斜率存在.设AB:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),由得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0再由根的判别式和嘏达定理进行求解. 【解析】 (Ⅰ)由题意知,所以. 即a2=2b2.(2分) 又因为,所以a2=2,. 故椭圆C的方程为.(4分) (Ⅱ)由题意知直线AB的斜率存在.设AB:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), 由得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.△=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,.(6分) ,∵∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y), ∴, ∵点P在椭圆上,∴,∴16k2=t2(1+2k2).(8分) ∵<,∴,∴ ∴,∴(4k2-1)(14k2+13)>0,∴.(10分) ∴,∵16k2=t2(1+2k2),∴, ∴或,∴实数t取值范围为.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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