Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+t（t＞0）与椭圆C交于A，B两点．若原点O在以线段AB为直径的圆内，求实数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）依题意，可知m＞1，且，由此可m2=2，从而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则原点O在以线段AB为直径的圆内，等价于x1x2+y1y2＜0，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，可建立不等式，从而可求实数t的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）依题意，可知m＞1，且，所以，所以m2=2，即椭圆C的方程为．…（5分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则原点O在以线段AB为直径的圆内，等价于（A，O，B三点不共线），也就等价于，即x1x2+y1y2＜0…①…（7分）
联立，得3x2+4tx+2（t2-1）=0，所以△=16t2-24（t2-1）＞0，即0＜t2＜3…②
且…（10分）
于是
代入①式得，，即适合②式…（12分）
又t＞0，所以解得即求．…（13分）