Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．
（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？

Answer

（Ⅰ）过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，证明AE平行平面DCF内的直线DG，即可证明AE∥平面DCF；
（Ⅱ）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，说明∠AHB为二面角A-EF-C的平面角，通过二面角A-EF-C的大小为60°，求出AB即可．
（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形．又ABCD为矩形，
所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．
因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，所以AE∥平面DCF．

（Ⅱ）【解析】
过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得
AB⊥平面BEFC，
从而AH⊥EF，
所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角．
在Rt△EFG中，因为EG=AD=．
又因为CE⊥EF，所以CF=4，
从而BE=CG=3．
于是BH=BE•sin∠BEH=．
因为AB=BH•tan∠AHB，
所以当AB=时，二面角A-EF-G的大小为60°．
【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何．
【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用．