Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定义在R上的函数，它在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）在函数f（x）的图象上是否存在点M（x，y），使得f（x）在点M的切线斜率为3b？若存在，求出M点的坐标，若不存在，则说明理由；
（Ⅲ）设f（x）的图象交x轴于A、B、C三点，且B的坐标为（2，0），求线段AC的长度|AC|的取值范围．

Answer

（1）利用函数f（x）的单调区间判断出x=0是函数的极值点，利用函数在极值点处的导数值为0，列出方程求出c的值．
（2）将c的值代入导函数，令导函数为0求出方程的两个根即两个极值点，据函数的单调性，判断出根 与区间端点的关系，列出不等式组求出 的范围．假设存在，根据导数的几何意义，列出方程，通过判断判别式的符号得到结论．
（3）设出f（x）的三个零点，写出f（x）的利用三个根不是的解析式，将x=2代入，利用韦达定理求出A，C的距离，据（2）求出|AC|的最值．
【解析】
（1）由条件可知f（x）在区间[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
∴x=0是f（x）的一个极值点，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax2+2bx+c，
故c=0．
（2）令f′（x）=0，则3ax2+2bx=0，
解得 ．
又f（x）在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
得 解得 ．
假设存在点M（x，y），使得f（x）在点M处的切线斜率为3b，则f'（x）=3b
∵，∴△＜0，x无解
故不存在点M（x，y），使得f（x）在点M处的切线斜率为3b
（3）设A（α，0），C（β，0），
则由题意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x3-（2+α+β）x2+（2α+2β+αβ）x-2αβ]…（2分）
则 ，解得
又∵函数f（x）的图象交x轴于B（2，0），
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=-4（b+2a），

从而 =
∵
∴当 时，|AC|max=；当 时，|AC|min=3．
所以3≤|AC|≤