Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA=AB=BC=CD=a．
（1）求证：面PAD⊥面PAC；
（2）求二面角D-PB-C的余弦值；
（3）求点D到平面PBC的距离．

Answer

（1）证明面PAD⊥面PAC，利用面面垂直的判定，证明AC⊥平面PAD即可；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面PBC、平面PBD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（3）设D到平面PBC的距离为d，则d=||•|cos＜，＞|=a，由此可得结论．
（1）证明：设PA=AB=BC=CD=a，连接AC，
在RT△ABC中，AC=a，
在直角梯形ABCD中，AD=a，
所以在△DAC中有：AD2+AC2=CD2，∴AC⊥AD
又∵PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，
∴PA⊥AC
∵PA∩AD=A
∴AC⊥平面PAD
∵AC⊂平面PAC
∴面PAD⊥面PAC                 …（4分）
（2）【解析】
以B为原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示坐标系，则：A（a，0，0），B（0，0，0），C（0，a，0），D（2a，a，0），P（a，0，a），=（a，0，a），=（0，a，0），=（2a，a，0）
设平面PBC的法向量为=（x′，y′，z′），平面PBD的法向量为=（x，y，z），
由⊥，⊥，⊥，⊥得：ax′+az′=0，y′=0，ax+az=0，2ax+ay=0
∴z′=-x′，y′=0，y=-2x，z=-x
∴取=（1，0，-1），=（1，-2，-1）
∴cos＜，＞==
设二面角D-PB-C的平面角θ，由图形易知θ为锐角，∴cosθ=|cos＜，＞|=…（8分）
（以B为原点，AD，AC所在直线为x轴y轴建立平面直角坐标系参照给分）
（3）【解析】
由题意cos＜，＞==，||=a
设D到平面PBC的距离为d，则d=||•|cos＜，＞|=a…（12分）
（利用体积法求得正确结果参照赋分）