Question

根据辽宁省期初教育工作会议精神，我省所有中小学全部取消晚自习，某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到频率分布直方图如下．已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人；
（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：

	利用时间充分	利用时间不充分	总计
走读生	50	25	75
住宿生	10	15	25
总计	60	40	100

是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？
（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；
参考公式：K²=．

Answer

（1）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），则由图能够求出n的值并能补全频率分布直方图．
（2）利用题设条件，先求出2×2列联表，再求出K2，并把K2与3.841进行比较，从而得到有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．
（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑦组15人，第⑧组10人，总计20人．则X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X=i）=（i=0，1，2，3），由此能求出X的分布列和EX．
【解析】
（1）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），则由图可知：P1=×30=，P2=×30=
∴学习时间少于60钟的频率为：P1+P2=  由题意：n×=5∴n=100
又P3=×30=，P5=×30=，P6=×30=，P7=×30=，P8=×30=，
∴P4=1-（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=1-=1-=
第④组的高度h=×==
频率分布直方图如图：（未标明高度1/120扣1分）（4分）
（2）2×2列联表如下：

利用时间充分 利用时间不充分 总计
走读生 50 25 75
住宿生 10 15 25
总计 60 40 100

K2=≈5.556
由于K2＞3.841，
所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关…（8分）
（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑦组15人，第⑧组10人，总计20人．
则X的所有可能取值为0，1，2，3
P（X=i）=（i=0，1，2，3）
∴P（X=0）===，
P（X=1）====，
P（X=2）====，
P（X=3）====
∴X的分布列为：

P 1 2 3
X

EX=0×+1×+2×+3×===．