Question

如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右顶点为A₁，A₂，左右焦点为F₁，F₂，其中F₁，F₂是A₁A₂的三等分点，A是椭圆上任意一点，且|AF₁|+|AF₂|=6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AF₁与椭圆交于另一点B，与y轴交于一点C，记m=，n=，若点A在第一象限，求m+n的取值范围．

Answer

（1）根据F1，F2是A1A2的三等分点，可得a=3c，利用|AF1|+|AF2|=6，可得a=3，从而可得椭圆C的方程；
（2）当直线与x轴重合时，显然不合题意；当直线不与x轴重合时，设直线AF1的方程代入到椭圆方程并消元整理利用韦达定理及C点坐标，确定m==，n==，由此可确定m+n的取值范围．
【解析】
（1）∵F1，F2是A1A2的三等分点，∴a=3c
又∵|AF1|+|AF2|=6，∴a=3
∴c=1，∴b2=8
∴椭圆C的方程为：+=1…（4分）
（2）F1（-1，0），当直线与x轴重合时，显然不合题意，
当直线不与x轴重合时，设直线AF1的方程为：x=my-1  
代入到椭圆方程并消元整理得：（8m2+9）y2-16my-64=0 …①
△=162×9（m2+1）＞0恒成立；
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是方程①的两个解，由韦达定理得：y1+y2=，y1y2=-
在x=my-1中，令x=0得C点坐标为（0，）…（7分）
m====（∵A在第一象限，∴x1=my1-1＞0，y1＞0）
同理：n==…（9分）
∴m+n=+===2+
∵A在第一象限，∴C点在椭圆内部
∴0＜＜2，∴m2＞   
∴8m2-1＞0，∴m+n＞2
∴m+n的取值范围是（2，+∞）…（12分）