Question

如果对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，而且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf （x）=0对任意实数x都成立，则称f（x） 是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：①f（x）=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”；②f（x）=x²是一个“λ-伴随函数”；③“-伴随函数”至少有一个零点．其中不正确的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．③
D．①

Answer

根据“λ-伴随函数”的定义，可得f（x）=C（C是常数）必定是“λ-伴随函数”，f（x）=0不是唯一一个，故①不正确；
假设f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”，得（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，而找不到λ使上式成立，故f（x）=x2不是一个“λ-伴随函数”，②不正确；根据“λ-伴随函数”的定义，结合函数零点存在性定理，可证出“-伴随函数”至少有一个零点，得③正确．由此可得正确答案．
【解析】
对于①，设f（x）=C（C是常数）是一个“λ-伴随函数”，则f（x+λ）+λf （x）=（1+λ）C=0，
当λ=-1时，C可以取遍实数集，因此f（x）=C（C是常数）必定是“λ-伴随函数”，
可得f（x）=0 不是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”，故①不正确；
对于②，假设f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”，则f（x+λ）+λf （x）=（x+λ）2+λx2=0，
即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而找不到λ使此式成立，
所以f（x）=x2不是一个“λ-伴随函数”，故②不正确．
对于③，令x=0，得f（0+）+f（0）=0，所以f（）=-f（0）．
当f（0）=0时，显然f（x）=0有实数根；
当f（0）≠0时，f（）•f（0）=-[f（0）]2＜0．因为函数f（x）函数图象是连续不断的，
所以f（x）在（0，）上必有实数根，
综上所述，因此“-伴随函数”至少有一个零点．故③正确．
故答案为：A