Question

如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE=BC=2，AC=CD=3．
（Ⅰ）证明：EO∥平面ACD；
（Ⅱ）证明：平面ACD⊥平面BCDE；
（Ⅲ）求三棱锥E-ABD的体积．

Answer

（I）如图，取BC的中点M，连接O同、ME．在三角形ABC中，利用中位线定理得到OM∥AC，再证出四边形MCDE是平行四边形，结合面面平行的判定得到面EMO∥面ACD，最后利用面面平行的性质即可得出结论；
（II）根据AB是圆的直径，C点在圆上，得到直径所结的圆周角是直角，又平面BDCE⊥平面ABC，从而有AC⊥平面BDCE，最后利用面面垂直的判定即可得出平面ACD⊥平面BCDE；
（III）由（II）知AC⊥平面ABDE，可得AC是三棱锥A-BDE的高线，再将三棱锥E-ABD的体积转化为三棱锥A-BDE的体积求解即可．
【解析】
（I）如图，取BC的中点M，连接O同、ME．
在三角形ABC中，O是AB的中点，M是BC的中点，
∴OM∥AC，
在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且DE=CM，
∴四边形MCDE是平行四边形，∴EM∥CD，
∴面EMO∥面ACD，
又∵EO⊂面EMO，
∴EO∥面ACD．（8分）
（II）∵AB是圆的直径，C点在圆上，
∴AC⊥BC，又∵平面BDCE⊥平面ABC，平面BDCE∩平面ABC=BC
∴AC⊥平面BDCE，∵AC⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面BCDE；
（III）由（II）知AC⊥平面ABDE，可得AC是三棱锥A-BDE的高线，
∵Rt△BDE中，S△BDE=DE×CD=×2×3=3．
因此三棱锥E-ABD的体积=三棱锥A-BDE的体积=S△BDE×AC=×3×3=3．