Question

定义域R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1]∪（0，3]
B．
C．[-1，0）∪[3，+∞）
D．

Answer

（1）由x∈[0，2]时，f（x）=x2-2x及f（x+2）=3f（x）可求得f（x+4）=（x+4）2-2（x+4）=x2+6x+8，从而可得
f（x）=（x2+6x+8），x∈[-4，-2]，而恒成立可转化为，结合二次函数的知识可先求函数f（x）的最小值，从而可求t的范围
【解析】
∵x∈[-4，-2]
∴x+4∈[0，2]
∵x∈[0，2]时，f（x）=x2-2x
∴f（x+4）=（x+4）2-2（x+4）=x2+6x+8
∵函数f（x）满足f（x+2）=3f（x）
∴f（x+4）=3f（x+2）=9f（x）
∴f（x）=（x2+6x+8），x∈[-4，-2]
∵恒成立
=
解不等式可得t≥3或-1≤t＜0
故选C．