Question

如图，某小区准备绿化一块直径为AB的半圆形空地，O为圆心，C为圆周上一点，CD⊥AB于D，△ACD内为一水池，△ACD外栽种花草，若AB=100米，∠CAB=θ，y=AC+CD．
（1）试用θ表示y；
（2）求y的最大值．

Answer

（1）连接CB，则AC⊥CB，求出AC=ABcosθ=100cosθ．然后求出函数的解析式．
（2）求出函数的导数，通过导数为0，求出θ=30°．通过当0°＜θ＜30°时，当30°＜θ＜90°时，判断函数的单调性，说明θ=30°时函数取得最大值，求解即可．
【解析】
（1）连接CB，则AC⊥CB，
又AB=100，∠CAB=θ，∴AC=ABcosθ=100cosθ．
又CD⊥AB，∴CD=ACsinθ=100sinθcosθ．
∴y=100（1+sinθ）cosθ，．
（2）y′=[100（1+sinθ）cosθ]′
=[100cosθ+50sin2θ]′
=100（-sinθ+cos2θ）．
由y′=0得sinθ=或sinθ=-1（舍去）．
∴θ=30°．
当0°＜θ＜30°时，y′＞0，则y在（0，30°）递增．
当30°＜θ＜90°时，y′＜0，则y在（30°，90°）递减．
∴当θ=30°时函数取得最大值ymax=100（1+sin30°）cos30°=75．