Question

一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x₁，x₂，记ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．
（1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望．

Answer

（1）由题意知掷出点数x可能是：1，2，3，4．得到要用的代数式的值，得到ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8．理解变量取不同值时对应的事件，做出概率．
（2）由（Ⅰ）知ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8．，理解变量取不同值时对应的事件，做出概率，写出变量的分布列，求出期望，本题变量取值较多，解题时要注意运算，避免出错．
【解析】
（1）掷出点数x可能是：1，2，3，4．
则x-3分别得：-2，-1，0，1．
于是（x-3）2的所有取值分别为：0，1，4．
因此ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8．
当x1=1且x2=1时，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2可取得最大值8，
此时，；
当x1=3且x2=3时，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2可取得最小值0．
此时，．
；

（2）由（Ⅰ）知ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8．
当ξ=1时，（x1，x2）的所有取值为（2，3）、（4，3）、（3，2）、（3，4）．
即；
当ξ=2时，（x1，x2）的所有取值为（2，2）、（4，4）、（4，2）、（2，4）．
即；
当ξ=4时，（x1，x2）的所有取值为（1，3）、（3，1）．
即；
当ξ=5时，（x1，x2）的所有取值为（2，1）、（1，4）、（1，2）、（4，1）．
即．

∴ξ的分布列为：

所以Eξ==3