Question

定义在（0，+∞）上的函数．
（1）求函数f（x）的最大值；（2）对于任意正实数a、b，设．

Answer

（1）先求导函数，从而可确定函数在（0，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，从而函数在x=1时，取得最大值，即可求解；
（2）利用（1）中的最大值可得不等式．设，代入不等式，再利用，即可证得．
【解析】
（1）．∵，∴由f'（x）=0，得x=1．
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化如下表：

x （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x） + -
f（x） ↗ 极大 ↘

又f（1）=p-1，所以f（x）≤f（1），即f（x）的最大值为p-1．
（2）由（1）得．
设，则，即，
∴，
∴
∴，
将代入，得．