Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，∀n∈N^*，S_n+1=2S_n+1．
（Ⅰ）求数列{S_n}的通项公式．
（Ⅱ）对∀n∈N^*，．．

Answer

（Ⅰ）由数列递推式，证明{Sn+1}是首项为2、公比为2的等比数列，从而可求数列{Sn}的通项公式
（Ⅱ）确定，可得，再利用错位相减法求数列的和，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
依题意，∀n∈N*，Sn+1+1=2Sn+1+1=2（Sn+1）
又S1+1=a1+1=2≠0，所以{Sn+1}是首项为2、公比为2的等比数列                              …（3分）
所以，…（5分）
（Ⅱ）证明：对∀n∈N*，，所以∀n∈N*，…（8分）
∴
∴
∴…（10分）
两式相减，整理得=＜4…（14分）．