Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0），动点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记动点P的轨迹为S，过点F₂作直线l与轨迹S交于P、Q两点，过P、Q作直线x=的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记λ=|AP|•|BQ|．
（Ⅰ）求轨迹S的方程；
（Ⅱ）设点M（-1，0），求证：当λ取最小值时，△PMQ的面积为9．

Answer

（Ⅰ）由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹S是以F1、F2为焦点的双曲线右支，结合焦点坐标，可求轨迹S的方程；（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），与双曲线方程联立消y得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0，结合韦达定理，及λ=|AP|•|BQ|，考虑直线斜率不存在，确定λ的最小值为，从而可求△PMQ的面积．
（Ⅰ）【解析】
由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹S是以F1、F2为焦点的双曲线右支．…（1分）
由c=2，2a=2，∴b2=3．               …（3分）
故轨迹S的方程为x2-=1 （x≥1）…（5分）
（Ⅱ）证明：当直线l的斜率存在时，…（6分）
设直线方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），与双曲线方程联立消y得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0       …（7分）
∴解得k2＞3．…（9分）
∵λ=|AP|•|BQ|==（2x1-1）（2x2-1）=[4x1x2-2（x1+x2）+1]=x1x2-+       …（11分）
=-+=+=+＞．  …（12分）
当斜率不存在时，|AP|•|BQ|=，∴λ的最小值为．…（13分）
此时，|PQ|=6，|MF2|=3，S△PMQ=||MF2|•|PQ|=9．…（14分）