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已知双曲线W:manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点N(0,b),右顶点是M,且manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=-1,∠NMF2=120°.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)过点Q(0,-2)的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点,若点H(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部,求实数k的取值范围.
(Ⅰ)利用•=-1,可得•=a2-ac=-1,根据∠NMF2=120°,可得c=2a,由此可求双曲线的方程; (Ⅱ)设直线l的方程代入双曲线方程,消去y,利用直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点,确定k的范围,根据点H(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部,可得>0,由此可得得实数k的范围. 【解析】 (Ⅰ)由已知M(a,0),N(0,b),F2(c,0), ∴•=(-a,b)•(c-a,0)=a2-ac=-1, ∵∠NMF2=120°,∴∠NMF1=60°,∴b=a,∴c2-a2=3a2,∴c=2a ∴a=1,b=, ∴双曲线的方程为.(4分) (Ⅱ)由题知,直线l的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),直线l:y=kx-2,代入双曲线方程,消去y可得 (3-k2)x2+4kx-7=0,(6分) 设A(x1,y1)、B(x2,y2),则,解得.①(8分) ∵点H(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部,则>0,(9分) ∴=(x1-7,y1)•(x2-7,y2)=(1+k2)x1x2-(7+2k)(x1+x2)+53 =(1+k2)×-(7+2k)×+53=>0 ∴k>2  ②(11分) 由①、②得实数k的范围是(2,).(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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