Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx．
（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）把a=-4代入得f（x），求出f′（x）＞0得函数的增区间，求出f′（x）＜0得到函数的减区间，即可得到函数的极小值；
（Ⅱ）由f（x）的解析式化简不等式，得到当t≥1时，t2≥2t-1，∴．即t＞1时，恒成立即要求出的最小值即可得到a的范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意得，．由函数的定义域为x＞0，
∴f'（x）＞0⇒x＞1，f'（x）＜0⇒0＜x＜1．∴函数f（x）有极小值f（1）=3．
（Ⅱ）∵f（x）=x2+2x+alnx，
∴．
当t≥1时，t2≥2t-1，∴．即t＞1时，恒成立．又易证ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
∴在t＞1上恒成立．当t=1时取等号，∴当t≥1时，，∴由上知a≤2．故实数a的取值范围是（-∞，2]．