Question

下列命题中：
（1）方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
（2）函数f（x）=lg（mx²+mx+1）的定义域为R，则m的取值范围是m∈（0，4）；
（3）若函数在区间（-∞，1]上是减函数，则实数a∈[-3，-2]；
（4）若函数f（3x+1）是偶函数，则f（x）的图象关于直线对称．
（5）若对于任意x∈（1，3）不等式x²-ax+2＜0恒成立，则；
其中的真命题是    （写出所有真命题的编号）．

Answer

（1）用根的分布来解，得到f（0）=a＜0；
（2）由函数f（x）=lg（mx2+mx+1）的定义域为R，知mx2+mx+1＞0的定义域为R，由此能求出实数m的取值范围；
（3）由定义域得a＞-3，由单调性得a＜-2，由此能求出实数a的范围；
（4）若函数f（3x+1）是偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称；
（5）由题意得x2+2＜ax对于任意x∈（1，3）恒成立，故x+＜a对于任意x∈（1，3）恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）用根的分布来解，
令f（x）=x2+（a-3）x+a，一个比0大，一个比0小，
只要f（0）=a＜0即可．故（1）正确；
（2）∵函数f（x）=lg（mx2+mx+1）的定义域为R，
∴mx2+mx+1＞0的定义域为R，
∴m=0，或，
解得0≤m＜4，故（2）不正确；
（3）∵函数在区间（-∞，1]上是减函数，
∴，解得-3≤a≤-2，故（3）正确；
（4）∵函数f（3x+1）是偶函数，
∴函数f（3x+1）的图象关于y轴对称，
∴f（3x）的图象关于x=对称，
∴f（x）的图象关于x=1对称，故（4）不正确；
（5）∵对于任意x∈（1，3）不等式x2-ax+2＜0恒成立，
∴x2+2＜ax对于任意x∈（1，3）恒成立，
∴x+＜a对于任意x∈（1，3）恒成立，
∵当x∈（1，3）时，x+∈[2，]，
∴a，故（5）成立．
故答案为：（1），（3），（5）．