Question

已知a∈R，曲线．
（1）若曲线C₁表示圆，求a的取值范围；
（2）当a=2时，求C₁所表示曲线关于直线2y+1=0的对称曲线C₂的方程；
（3）在第2题条件下，是否存在整数m，使得曲线C₁与曲线C₂上均恰有两点到直线0≤x≤1时，的距离等于1，若存在，求出m值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）化圆的方程为标准方程，利用半径大于0，可求a的取值范围；
（2）确定圆心C1（1，-2）关于直线2y+1=0的对称点为C2（1，1），即可得到C2的方程；
（3）设C1（1，-2）到直线2x+y+m=0的距离为d1，设C2（1，1）到直线2x+y+m=0的距离为d2，则根据d1∈（1，3），d2∈（1，3），结合m为整数，可得结论．
【解析】
（1），即
当时C1表示圆，此时a2+4a+4＞0，∴a≠-2…（3分）
（2）a=2时，C1：（x-1）2+（y+2）2=4，圆心（1，-2）
圆心C1（1，-2）关于直线2y+1=0的对称点为C2（1，1）
圆…（6分）
（3）设C1（1，-2）到直线2x+y+m=0的距离为d1，设C2（1，1）到直线2x+y+m=0的距离为d2，则
∵d1∈（1，3），∴，∴，∴…（9分），
∵d2∈（1，3），∴，
∴，∴…（12分）
∴，
又m为整数，∴m=-6或3．…（14分）
所以，存在整数m=-6或3，使得曲线C1与曲线C2上均恰有两点到直线2x+y+m=0的距离等于1                  …（15分）