Question

已知f（x）=x|x-a|-2．
（1）若f（1）≤1，求a的取值范围；
（2）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（3）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0，求实数a的取值范围．

Answer

（1）f（1）≤1，即|1-a|-2≤1，即|a-1|≤3，故有-3≤a-1≤3，由此求得a的取值范围．
（2）由于 f（x）=x|x-a|-2=，从而求得f（x）的单调区间．
（3）x=0时，f（x）=-2＜0成立； 由于当x∈（0，1]时，恒有f（x）＜0，可得，，令，则g（x）max＜a＜h（x）min ，再由 g（x）在（0，1]单调增，h（x）在（0，1]单调减，可得g（1）＜a＜h（1），由此求得求实数a的取值范围．
【解析】
（1）f（1）≤1，即|1-a|-2≤1，即|1-a|≤3，即|a-1|≤3，∴-3≤a-1≤3．
解得-2≤a≤4，故a的取值范围为[-2，4]．
（2）由于 f（x）=x|x-a|-2=，
故函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为．
（3）x=0时，f（x）=-2＜0成立；  由于当x∈（0，1]时，恒有f（x）＜0，故x|x-a|＜2，∴，
∴-＜，∴x-＜a＜x+，∴．
令，则g（x）max＜a＜h（x）min，再由 g（x）在（0，1]单调增，h（x）在（0，1]单调减，
∴g（1）＜a＜h（1），
∴a∈（-1，3）．