Question

我校高三年级进行了一次水平测试．用系统抽样的方法抽取了50名学生的数学成绩，准备进行分析和研究．经统计成绩的分组及各组的频数如下：
[40，50），2；[50，60），3；[60，70），10；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，8．
（Ⅰ）完成样本的频率分布表；画出频率分布直方图．
（Ⅱ）估计成绩在85分以下的学生比例；
（Ⅲ）请你根据以上信息去估计样本的众数、中位数、平均数．（精确到0.01）
        （Ⅰ）频率分布表

分组	频数	频率
[40，50）	2
[50，60）	3
[60，70）	10
[70，80）	15
[80，90）	12
[90，100]	8
合计	50

Answer

（I）由统计成绩的分组及各组的频数分别求解各组的频率，完成上表；
（II）根据组距，频率，直接画出频率分布直方图；
（II）根据众数、中位数、平均数的概念计算；由成绩表即可得出各年级的成绩的平均数、众数及中位数；根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标进行解题即可，利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．
【解析】
（Ⅰ）频率分布表
分组 频数 频率
[40，50） 2 0.04
[50，60） 3 0.06
[60，70） 10 0.2
[70，80） 15 0.3
[80，90） 12 0.24
[90，100] 8 0.16
合计 50 1

画频率分布直方图：

（Ⅱ）成绩在85分以下的学生比例：72%
（Ⅲ）众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，
∴中间的一个矩形最高，故70与80的中点是75，众数是75；
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标
第一个矩形的面积是0.04，第二个矩形的面积是0.06，第三个矩形的面积是0.2，最后二个矩形的面积和是0.4，故将第四个矩形分成4：3即可，∴中位数是76.67；
所有的数据的平均数为45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+65×0.16=76.2．
故众数为75、中位数约为76.67、平均数为76.2．