Question

已知椭圆（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F₁和F₂，以F₁、F₂为直径的圆经过点M（0，b）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且=0．求证：直线l在y轴上的截距为定值．

Answer

（1）由题设知b=c，又a=2，所以b=c=2，从而可得椭圆方程；
（2）设直线l的方程与椭圆方程联立，利用向量的数量积，结合韦达定理，即可求得直线l在y轴上的截距．
（1）【解析】
由题设知b=c，又a=2，所以b=c=2，故椭圆方程为；…（2分）
（2）证明：因为M（0，2），所以直线l与x轴不垂直．
设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）
由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，所以x1+x2=-，x1x2=…（6分）
又，所以（x1，y1-2）•（x2，y2-2）=0，即x1x2+y1y2-2（y1+y2）+4=0，
x1x2+（kx1+m）（kx2+m）-2（kx1+m+kx2+m）+4=0，
整理得（k2+1）x1x2+k（m-2）（x1+x2）+（m-2）2=0，
即（k2+1）×+k（m-2）×（-）+（m-2）2=0，…（10分）
因为m≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0
展开整理得3m+2=0，即m=-．
直线l在y轴上的截距为定值-．…（12分）