Question

已知函数，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程恰有两个不等的实根，求a的取值范围．

Answer

（I）求导，令导数大于零，对a分情况讨论，根据一元二次不等式的解的情况，即可求得结论；
（II）关于x的方程恰有两个不等的实根，等价于G（x）=x2-lnx-a有零点，利用导数工具，将问题转化为求函数的最值问题，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）函数F（x）的定义域为（0，+∞）…（1分）
①当a≥0时，F'（x）＞0，F（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间   …（3分）
②当a＜0时，方程x2+x+a=0的两根为，
当时，F'（x）＜0
当时，F'（x）＞0
综上所述，a≥0时，F（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间a＜0时，F（x）的单调增区间为，单调减区间为…（6分）
（Ⅱ）…（7分）
令G（x）=x2-lnx-a，则G（x）的定义域为（0，+∞），
，，
所以G（x）在上单调递减，在上单调递增     …（10分）
G（x）min=
所以a的取值范围是…（12分）