Question

已知中心在原点O，焦点F₁、F₂在y轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线的焦点为F₂．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程；
（Ⅱ） 垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与x轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．

Answer

（Ⅰ）设椭圆E的方程，将点（2，2）代入，结合为抛物线的焦点为F2，及a2=b2+c2，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程代入椭圆E方程，得3x2-2mx+m2-12=0，结合韦达定理及以AB为直径的圆P与x轴相切，即可求直线l的方程和圆P的方程．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆E的方程为，…（1分）
则∵椭圆E经过点C（2，2），，…（2分）
因为抛物线的焦点为F2，所以…（3分）
又a2=b2+c2得a2=12，b2=6…（4分）
所以椭圆E的方程为…（5分）
（Ⅱ）依题意，直线OC的斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m…（6分）
代入椭圆E方程，得3x2-2mx+m2-12=0…（7分）
由△=4m2-12（m2-12）＞0，得m2＜18…（8分）
记A（x1，y1），B（x2，y2），则，
∴…（9分）
半径，解得m=±3，满足△＞0…（12分）
当m=3时，直线l的方程为y=-x+3，圆P的方程为（x-2）2+（y-1）2=4
当m=-3时，直线l的方程为y=-x-3，圆P的方程为（x+2）2+（y+1）2=4      …（14分）