Question

如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．
（1）求证：DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积．

Answer

（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；
（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．利用，
即可求三棱锥B-DEG的体积．
【解析】
（1）取AC的中点P，连接DP，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，
所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP=，∠DCP=30°，∠PDC=60°，
又点E在线段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，
∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；
∵将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC
∴DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，
因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，
所以BD=，DC=，
所以B到DC的距离h===，
因为平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，
所以B到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．
三棱锥B-DEG的体积：V====．