Question

如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O₁的半径为2r（r为常数），小飞轮O₂的半径为r，O₁O₂=4r．在大飞轮的边缘上有两个点A，B，满足，在小飞轮的边缘上有点C．设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B，C在水平直线O₁O₂上．
（1）求点A到达最高点时A，C间的距离；
（2）求点B，C在传动过程中高度差的最大值．

Answer

（1）以O1为坐标系的原点，O1O2所在直线为x轴，当点A到达最高点时，点A绕O1转过，则点C绕O2转过，确定A、C的坐标，即可求得A，C间的距离；
（2）由题意，设大飞轮转过的角度为θ，则小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0，2π]，可求得点B，C高度差为d=2r|sinθ-sinθcosθ|，构造函数f（θ）=sinθ-sinθcosθ，θ∈[0，2π]，求导函数确定函数的单调性、极值与最值，即可求得结论．
【解析】
（1）以O1为坐标系的原点，O1O2所在直线为x轴，如图所示建立直角坐标系．
当点A到达最高点时，点A绕O1转过，则点C绕O2转过．（2分）
此时A（0，2r），C．（4分）
∴AC=．（5分）
（2）由题意，设大飞轮转过的角度为θ，则小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0，2π]．
此时B（2rcosθ，2rsinθ），C（4r+rcos2θ，rsin2θ），（6分）
记点B，C高度差为d，则d=|2rsinθ-rsin2θ|，即d=2r|sinθ-sinθcosθ|．（7分）
设f（θ）=sinθ-sinθcosθ，θ∈[0，2π]，则f′（θ）=（1-cosθ）（2cosθ+1）．（8分）
令f′（θ）=（1-cosθ）（2cosθ+1）=0，得cosθ=-或1．（9分）
则θ=π，π，0或2π．（10分）
列表：

θ （0，） π （，） （） 2π
f′（θ）   + - +  
f（θ）  极大值f（）  极小值f（） 

∴当θ=时，f（θ）取得极大值为；当θ=时，f（θ）取得极小值为-．
∴点B，C在传动中高度差的最大值dmax=r．（14分）