Question

如图，已知椭圆的上顶点为A，直线y=-4交椭圆E于点B，C（点B在点C的左侧），点P在椭圆E上．
（1）若点P的坐标为（6，4），求四边形ABCP的面积；
（2）若四边形ABCP为梯形，求点P的坐标；
（3）若（m，n为实数），求m+n的最大值．

Answer

（1）先求B、C的坐标，再利用四边形ABCP的面积为三角形与梯形面积的和，即可得到结论；
（2）因为ABCP为梯形分情况讨论：①AP平行与BC；②AB平行于CP，则kAB=kCP，求出直线CP的方程，与椭圆方程联立，即可求得P的坐标；
（3）设P（x，y），根据（m，n为实数），可得x=6m+12n-6，y=9m-4，进而可得m+n，利用三角换元，可求m+n的最大值．
【解析】
（1）将y=-4代入椭圆，可得x=±6，∴B（-6，-4），C（6，-4）
∴四边形ABCP的面积为三角形与梯形面积的和
∴S四边形ABCP==78
（2）因为ABCP为梯形分情况讨论
①AP平行与BC，则y=5与A重合，所以舍；
②AB平行于CP，则kAB==kCP，
设直线CP的方程为y=x+C，代入（6，4）可得C=-13
∴直线CP的方程为y=x-13，
与椭圆，联立消元可得5x2-78x+288=0
∴x=6或
代入直线CP的方程为y=x-13，可得y=-4或
∴P（）；
（3）设P（x，y），∵（m，n为实数），
∴（x+6，y+4）=m（6，9）+n（12，0）=（6m+12n，9m）
∴x=6m+12n-6，y=9m-4
∴m=，n=
∴m+n=
令x=10cosθ，y=5sinθ，∴m+n=cosθ-sinθ+=cos（θ+α）+，所以最大值为+，
∴m+n的最大值为+．