Question

数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2．数列{b_n}满足，n∈N₊．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求数列{b_n}的前6项和S₆；
（2）若数列{b_n}是公差为2的等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_2n-b_2n-1=0，，n∈N₊，求数列{a_n}的前2n项的和T_2n．

Answer

（1）由数列{an}是等差数列，a1=1，a2=2，可得an=n，由此求得数列{bn}的前6项，即可得到数列{bn}的前6项和S6 的值．
（2）数列{bn}是公差为2的等差数列，b1=a2-a1=1，故bn=2n-1．由bn=an+1+（-1）nan，知b2n-1=a2n-a2n-1=4n-3，b2n=a2n+1+a2n=4n-1．相减可得 a2n+1+a2n-1=2，a2n+3+a2n+1=2，求得a4n-3=a1=1，a4n-1=a3=1．由此能求出an．
（3）由，n∈N+．知b2n=a2n+1+a2n，b2n-1=a2n-a2n-1，b2n+1=a2n+2-a2n+1，由b2n-b2n-1=0，，n∈N+，，由此能求出数列{an}的前2n项的和T2n．
【解析】
（1）∵数列{an}是等差数列，a1=1，a2=2，∴an=n，
∴
=（n+1）+（-1）nn，
∴数列{bn}的前6项和S6=（2-1）+（3+2）+（4-3）+（5+4）+（6-5）+（7+6）=30．
（2）∵数列{bn}是公差为2的等差数列，b1=a2-a1=1，
∴bn=2n-1．
∵bn=an+1+（-1）nan，
∴b2n-1=a2n-a2n-1=4n-3，b2n=a2n+1+a2n=4n-1．
相减可得 a2n+1+a2n-1=2，a2n+3+a2n+1=2，∴a2n+3=a2n-1．
∵a1=1，a3=1，∴a4n-3=a1=1，a4n-1=a3=1．
∴an=．
（3）∵，n∈N+．
∴b2n=a2n+1+a2n，
b2n-1=a2n-a2n-1，
b2n+1=a2n+2-a2n+1，
∵b2n-b2n-1=0，，n∈N+，
∴a2n+1=a2n-1，，
∴，
又数列{an}中，a1=1，a2=2．
所以数列{an}的前2n项中，所有的奇数项都是1，所有的偶函数项从第二项开始两个分为一组，求和，可得
∴数列{an}的前2n项的和T2n=n+6（）=n+=n+6-．