Question

选做题
（A）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使，CD切半圆于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AE：EB=3：1，求DE的长．
（B）选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx在矩阵对应的变换下得到的直线经过点P（4，1），求实数k的值．
（C）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆ρ=asinθ（a＞0）与直线相切，求实数a的值．
（D）选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c满足abc=1，求证：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．

Answer

（A）连接OD、BD，由题目中条件知：“DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点”可得三角形BOD是等边三角形，设圆的半径为R，再在直角三角形OCD中，可得CD的长，最后根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得DE的长．
（B）设变换T：→，直线y=kx上任意一点（x，y），（x′，y′）是所得的直线上一点，根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标代入得到直线的方程，得到结果．
（C）先圆ρ=acosθ与直线，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．
（D）：将（a+2）（b+2）（c+2）展开，再利用基本不等式结合条件abc=1，即可证得．
【解析】
（A）连接OD，
∵DE⊥AB，垂足为E，且AE：EB=3：1得E是OB的中点
∴可得等腰三角形BOD是等边三角形，
在直角三角形OCD中，∠COD=60°，设圆的半径为R，
∴可得CD=OD=R，
∵CD是圆O的切线，∴由切割线定理得，
∴CD2=CB×CA，
即3R2=×（+2R）
∴R=，
∴DE=OE=×=；
（B）：设变换 T：→，
则  =，（5分）
即 代入直线y=kx得y'=kx'，
将点P（4，1）代入，
得k=．
（C）：p2=apcosθ，圆ρ=acosθ的普通方程为：x2+y2=ax，（x-a）2+y2=a2，
直线的普通方程为：x-y-=0，
又圆与直线相切，所以 =a，解得：a=-±2．
∵a＞0，∴a=-+2．
（D）：（a+2）（b+2）（c+2）
=abc+2（ab+bc+ca）+4（a+b+c）+8
≥1+2×3+4×3+8
=27，当且仅当a=b=c时等号成立．