Question

已知等差数列{a_n}的首项为正整数，公差为正偶数，且a₅≥10，S₁₅＜255．
（1）求通项a_n；
（2）若数列a₁，a₃，，，，…，…，成等比数列，试找出所有的n∈N^*，使为正整数，说明你的理由．

Answer

（1）由条件可得2d＜5，再由{an}的首项为正整数，公差为正偶数，故有d=2，结合条件得a1=2，由此求得通项an ．
（2）由（1）可知a1=2，a3=6，由此求出公比的值，求得 ，故=，当n=
2k-1，k∈N*时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时．当n=2k，k∈N*时，经检验不符合条件．
【解析】
（1）因为 a5≥10，S15＜255，设{an}的公差为d，则有 ．  …（2分）
化简可得 ，∴2d＜5．
再由{an}的首项为正整数，公差为正偶数，∴d=2，…（3分）
∴a1=2…（4分）
故．…（5分）
（2）由（1）可知a1=2，a3=6，
∴公比，…（6分）
∴，…（8分）
∴2•3n+1=2bn，，故=．…（9分）
此时当n=1，3，5时符合要求；当n=2，4时不符合要求．
由此可猜想：当且仅当n=2k-1，k∈N*时，Cn为正整数．证明如下：…（10分）
逆用等比数列的前n项和公式有：．…（11分）
当n=2k，k∈N*时，上式括号内为奇数个奇数之和，为奇数，此时…（12分）
当n=2k-1，k∈N*时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时
故满足要求的所有n为n=2k-1，k∈N*．…（13分）