Question

如图，在六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁∥CC₁，A₁B=A₁D，AB=AD．
求证：
（1）AA₁⊥BD；
（2）BB₁∥DD₁．

Answer

（1）取BD中点E，连接AE、A1E，根据等腰三角形底边的中线也是底边上的高，得AE⊥BD且A1E⊥BD，因此BD⊥平面A1AE，结合线面垂直的性质，得AA1⊥BD；
（2）根据AA1∥CC1，结合线面平行判定定理，可证出CC1∥平面AA1B1B．再用线面平行的性质定理，得BB1∥CC1，同理可得DD1∥CC1，根据平行线的传递性，可得BB1∥DD1．
【解析】
（1）取BD中点E，连接AE、A1E
∵△ABD中，AB=AD，E为BD中点
∴AE⊥BD，同理可得A1E⊥BD，
∵AE、A1E⊂平面A1AE，AE∩A1E=E
∴BD⊥平面A1AE，
∵AA1⊂平面A1AE，∴AA1⊥BD；
（2）∵AA1∥CC1，AA1⊂平面AA1B1B，CC1⊄平面AA1B1B，
∴CC1∥平面AA1B1B
∵CC1⊂平面CC1B1B，平面CC1B1B∩平面AA1B1B=BB1
∴BB1∥CC1，同理可得DD1∥CC1，
∴BB1∥DD1．