Question

已知函数f（x）=x+sinx．
（1）设P，Q是函数f（x）的图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
（2）求实数a的取值范围，使不等式f（x）≥axcosx在上恒成立．

Answer

（1）先利用导数研究函数的单调性，然后设P（x1，y1），Q（x2，y2），根据斜率的定义建立关系式，从而可知可证结论；
（2）设，然后利用导数研究函数的最小值，使得Q（x）min≥0即可．
【解析】
（1）∵f（x）=x+sinx
∴f'（x）=1+cosx≥0
∴函数f（x）在R上单调递增
设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，即kPQ＞0
∴直线PQ的斜率大于0；
（2）依题意得，设，
1°当a≤0时，Q（x）≤0恒成立； …（8分）
2°当a＞0时，Q'（x）=（a-1）cosx-axsinx-1，…（10分）
①0＜a≤2时，Q'（x）≤0，Q（x）在上单调递减，
所以Q（x）≤Q（0）=0恒成立；…（12分）
②a＞2时，注意到当时，x≥sinx，
于是Q（x）=axcosx-x-sinx≥axcosx-2x=x（acosx-2），
必存在，使得当x∈（0，x）时，有Q（x）＞0，不能使Q（x）≤0恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为a≤2． …（16分）