Question

设数列{a_n}的各项均为正数．若对任意的n∈N₊，存在k∈N₊，使得=a_n•a_n+2k成立，则称数列为“J_k型”数列．
（1）若数列{a_n}是“J₂”型数列，且a₂=8，a₈=1，求a_2n；
（2）若数列{a_n}既是“J₃”型数列，又是“J₄”型数列，证明：数列{a_n}是等比数列．

Answer

（1）利用数列{an}是“J2”型数列，可得数列{an}的奇数项、偶数项分别组成等比数列，根据a2=8，a8=1，求出数列的公比，即可得到通项；
（2）由题设知，当n≥8时，an-6，an-3，an，an+3，an+6成等比数列；an-6，an-2，an+2，an+6也成等比数列，可得，进而可得，对任意n≥2都成立，由此可得数列{an}为等比数列．
【解析】
（1）∵数列{an}是“J2”型数列，
∴=an•an+4
∴数列{an}的奇数项、偶数项分别组成等比数列
设偶数项组成的等比数列的公比为q，
∵a2=8，a8=1，∴，∴q=
∴a2n=8×=24-n；
（2）由题设知，当n≥8时，an-6，an-3，an，an+3，an+6成等比数列；an-6，an-2，an+2，an+6也成等比数列．
从而当n≥8时，an2=an-3an+3=an-6an+6，（*）且an-6an+6=an-2an+2．
所以当n≥8时，an2=an-2an+2，即
于是当n≥9时，an-3，an-1，an+1，an+3成等比数列，从而an-3an+3=an-1an+1，故由（*）式知an2=an-1an+1，
即．
当n≥9时，设，当2≤m≤9时，m+6≥8，从而由（*）式知am+62=amam+12，
故am+72=am+1am+13，从而，
于是．
因此对任意n≥2都成立．
因为，所以，
于是．
故数列{an}为等比数列．