Question

本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．
如图，在平面直角坐标系xOy，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在x轴上方的不同两点A、B，作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：MN⊥x轴；
（3）若直线MN与x轴的交点恰为F（1，0），求证：直线AB过定点．

Answer

（1）设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），利用焦点为F（1，0），可求抛物线的标准方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），求出切线AC、BD的方程，求得M的横坐标，求出直线AD、BC的方程，求得N的横坐标，即可证得结论；
（3）求得A（x1，y1），B（x2，y2）都满足方程yy=2（1+x），即直线AB的方程为yy=2（1+x），从而可得结论．
（1）【解析】
由题意，可设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），则，即p=2．
所以抛物线的标准方程为y2=4x．…（3分）
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，y2＞0．
由y2=4x（y＞0），得y=2，所以y′=．
所以切线AC的方程为y-y1=（x-x1），即y-y1=（x-x1）．
整理，得yy1=2（x+x1），①且C点坐标为（-x1，0）．
同理得切线BD的方程为yy2=2（x+x2），②且D点坐标为（-x2，0）．
由①②消去y，得．
又直线AD的方程为，③
直线BC的方程为．  ④
由③④消去y，得．
所以xM=xN，即MN⊥x轴．
（3）证明：由题意，设M（1，y），代入（1）中的①②，得yy1=2（1+x1），yy2=2（1+x2）．
所以A（x1，y1），B（x2，y2）都满足方程yy=2（1+x）．
所以直线AB的方程为yy=2（1+x）．
故直线AB过定点（-1，0）．